Область определения уравнения

Очень часто решить уравнение стандартными методами не представляется возможным. Не дает результата и применение многих известных методов. В некоторых случаях помогает нахождение области определения уравнения, иначе области допустимых значений переменной в уравнении.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.
Начнем решение с нахождения области определения уравнения, т.е. найдем допустимые значения неизвестной переменной в этом уравнения.

Кстати, для учеников существует проблема в применении понятий область определения уравнения и область допустимых значений (ОДЗ) переменной х.
Аббревиатура ОДЗ приобрела самостоятельную жизнь и применяют ее, не понимая сути, иногда путая с допустимыми значениями функции. Любое уравнение можно привести к виду f(x) = 0 и считать уравнением частный случай функции у = f(x), когда она равна нулю. Область определения этой функции - и есть область определения уравнения или область допустимых значений неизвестной переменной в этом уравнении.

Рисунок иллюстрирует эту запись. Оказалось, что область определения уравнения сузилась до одного числа.
Проверим, является ли это число корнем данного уравнения.

Итак, единственное число из области определения уравнения является его корнем.

Ответ: -2.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение.
От одного вида такого уравнения может испортиться настроение. Единственное, что приходит в голову – это попробовать сузить область определения этого уравнения. Попробуем определить ее.

На рисунке очень наглядно отражены наши поиски.

И в этом примере областью определения данного уравнения является одно число: x = 8.
Проверим, является ли оно корнем данного уравнения.

Ответ: нет действительных корней.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение.
Найдем область определения данного уравнения:

Произведение различных функций в данном уравнении может быть равно нулю только
при х = 3.

Ответ: 3.